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代々木ゼミナールで物理の講師をしています。

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参考書の質問の回答です

【参考書】

 中経出版 漆原晃の基礎物理・物理が面白いほどわかる本[力学・熱力学編]

【質問するページ・行・問題番号】

 221ページ 4行目以降

【質問内容】

 こんにちは。

公式導出に関しての質問です。他の問題集で単振り子の公式の導出を見たのですが、θを近似する方法のものしか見つからず、漆原先生の導出方法を真似て自分なりに単振り子の公式導出をやってみたのですが、円の中心方向にgが向かないのでgを式の中に入れられない、kとg,lとmを無理やり入れ替えてみると運動方程式が立てられない、仮に入れ替えてもmω^2=kよりlω^2=gとなるがこの式が意味をなすものなのかが分からない、といった問題が出てきてしまいました。そこで、この本の導出方針で導けるのかを聞きたいです。

 

 

回答

 

単振り子の周期公式の導出のポイントは真下からの振れ角θがとても小さいことです。

そのために、x座標軸を本来は水平右向きにとるところを、質点の軌跡となる円弧に沿ってとることができます。(原点は最下点で、反時計回り正とする)すると、最下点からの傾きがθとなる位置xにおいて、質点に働く力のうちx軸成分は、重力mgのx成分で

 

        -mg sinθ

 

となります。

これを、θが小さいことを用いて近似すると

 

         -mg θ

 

となります。

ここに、扇形の弧長公式

 

                               x=lθ

 

を使うと。

 

         -(mg/l) x

 

となります。

                 

これと、P221

 

                   -Kx

 

と比べると、

 

                    K=mg/l

で周期は

 

                   T=2π(m/K)^(1/2)

                     =2π(l/g)^(1/2)

 

となります。